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Solución paso a paso de una ecuación diferencial exacta

Determinar si la siguiente ecuación diferencial es homogénea o exacta y resolver

Identificamos la función de manera inmediata ya que la ecuación diferencial se encuentra en la forma estándar para este tipo de ecuaciones:
Derivamos parcialmente a la función con respecto a para verificar si estamos tratando con una ecuación diferencial exacta
Identificamos la función
Derivamos parcialmente a la función con respecto a
Como las dos derivadas parciales son iguales entonces podemos afirmar que la ecuación diferencial es una ecuación diferencial exacta
Primer paso: Enunciamos la forma del primer paso en el proceso de solución de la ecuación diferencial
Reemplazamos los valores indicados por la forma del primer paso
Separamos en dos integrales debido a la propiedad de la integración que enuncia que:
Como la variable de integración es (pués nos los está indicando el de cada integral), en el primer integral puede salir como una constante del primer integral ya que no es la variable de integración
La primera integral la resolvimos directamente aplicando: para todo
Expresamos como ya que Todo esto para llevar la integral a esta forma
Sea Para resolver esta integral necesitamos determinar con precisión quién es y quién es , por lo tanto definimos esta nueva variable
Derivamos la varible
Despejamos para reemplazarlo en la integral
Reemplazamos y por los nuevos valores
Sacamos el que divide al como y organizamos. Ahora si podemos aplicar
La solución de esa segunda integral que venimos trabajando queda de esta forma
Pero Como hicimos esta sutitución para resolver la integral, devemos devolver las variables originales
Sustituímos el valor de en la solución de la integral
Retomamos completamente la función agregando la solución de la segunda integral que acabamos de encontrar. Recordemos que nos desviamos para resolver el segundo integral de la función unos pasos mas arriba
Segundo paso: Esta paso dice así: derive parcialmente la función encontrada en el paso anterior con respecto a y ese resultado iguálelo a la función
Expresamos lo que nos dice el segundo paso
Derivamos parcialmente el lado izquierdo de la ecuación diferencial e continuamos igualando a la función
Simplificamos y organizamos el lado izquierdo
Despejamos
Simplificamos
Tercer paso: El tercer paso consiste simplemente en identificar quién es , que por obvias razones ya lo encontramos en el paso anterior y nos dió que era igual a , esto es,
Cuarto paso: Esta paso indica que debemos integrar a para encontrar quién es
Reemplazamos en lo que nos indica este paso
La derivada de una constante es cero, por lo tanto la integral de cero es una constante que llamaremos
Quinto y último paso: Este paso lo que nos indica es que debemos retornar al primer paso y sustituir todo lo que ya encontramos, teniendo en cuenta que la parte que dice que es la reemplazamos por
Reemplazamos por como lo indicamos anteriormente, después del signo "=" todo permanece tal cual lo dejamos al final del primer paso, exceptuando por que lo encontramos en el cuarto paso y que lo reemplazamos aquí por
Pasamos a restar al otro lado
Una constante menos otra constante continúa siendo otra constante. Aquí tenemos entonces la solución general de la ecuación diferencial en forma implícita

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